5.7 KB · ⇊ 2 parts · ⤓ Micron 5.7 KB · ⤓ HTML 34.8 KB

top

Die Beth-Funktion, benannt nach dem zweiten Buchstaben des hebräischen Alphabets und auch als ℶ ℶ {\displaystyle \beth } geschrieben, ist eine in der Mengenlehre, genauer in der Theorie der Kardinalzahlen, verwendete Aufzählung gewisser unendlicher Kardinalzahlen.

• Definition

• Bemerkungen

• Einzelnachweise

Die Beth-Funktion ordnet jeder Ordinalzahl α α {\displaystyle \alpha } eine wie folgt rekursiv definierte Kardinalzahl ℶ ℶ α α {\displaystyle \beth _{\alpha }} zu:cite-ref-1[1]

• ℶ ℶ 0 = ℵ ℵ 0 {\displaystyle \beth _{0}=\aleph _{0}} , wobei ℵ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} die kleinste unendliche Kardinalzahl ist, siehe Aleph-Funktion.

• ℶ ℶ α α + 1 = 2 ℶ ℶ α α {\displaystyle \beth _{\alpha +1}=2^{\beth _{\alpha }}} für Nachfolger-Ordinalzahlen α α + 1 {\displaystyle \alpha +1} . Dabei steht die rechte Seite für die Potenz von Kardinalzahlen.

• ℶ ℶ λ λ = sup α α < λ λ ℶ ℶ α α {\displaystyle \beth _{\lambda }=\sup _{\alpha <\lambda }\beth _{\alpha }} für Limes-Ordinalzahlen λ λ {\displaystyle \lambda } .

Die Kontinuumshypothese ist gleichbedeutend mit ℵ ℵ 1 = ℶ ℶ 1 {\displaystyle \aleph _{1}=\beth _{1}} , denn ℶ ℶ 1 {\displaystyle \beth _{1}} ist definitionsgemäß die Mächtigkeit der Potenzmenge einer abzählbaren Menge und daher gleichmächtig zum Kontinuum R {\displaystyle \mathbb {R} } . Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist äquivalent zu ℵ ℵ = ℶ ℶ {\displaystyle \aleph =\beth } , das heißt ℵ ℵ α α = ℶ ℶ α α {\displaystyle \aleph _{\alpha }=\beth _{\alpha }} für alle Ordinalzahlen α α {\displaystyle \alpha } .

Eine Limes-Kardinalzahl κ κ {\displaystyle \kappa } heißt ein starker Limes, wenn μ μ λ λ < κ κ {\displaystyle \mu ^{\lambda }<\kappa } für alle Kardinalzahlen λ λ , μ μ < κ κ {\displaystyle \lambda ,\mu <\kappa } . Eine Kardinalzahl κ κ {\displaystyle \kappa } ist genau dann eine starke Limes-Kardinalzahl, wenn κ κ = ℶ ℶ ξ ξ {\displaystyle \kappa =\beth _{\xi }} für eine Limes-Ordinalzahl ξ ξ {\displaystyle \xi } ist.cite-ref-2[2]

Es gilt α α ≤ ≤ ℵ ℵ α α ≤ ≤ ℶ ℶ α α {\displaystyle \alpha \leq \aleph _{\alpha }\leq \beth _{\alpha }} für alle Ordinalzahlen α α {\displaystyle \alpha } . Man kann zeigen, dass es Fixpunkte geben muss, das heißt solche Ordinalzahlen α α {\displaystyle \alpha } , für die α α = ℶ ℶ α α {\displaystyle \alpha =\beth _{\alpha }} gilt. Der kleinste Fixpunkt ist der Limes der Folge ℶ ℶ 0 , ℶ ℶ ℶ ℶ 0 , ℶ ℶ ℶ ℶ ℶ ℶ 0 , … … {\displaystyle \beth _{0},\beth _{\beth _{0}},\beth _{\beth _{\beth _{0}}},\ldots } , der informal als ℶ ℶ ℶ ℶ ⋱ ⋱ {\displaystyle \beth _{\beth _{{}_{\ddots }}}} dargestellt wird. Ebenso sind stark unerreichbare Kardinalzahlen Fixpunkte der Beth-Funktion.

cite-note-11. ↑ Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2, Kapitel I.5, S. 55.

cite-note-22. ↑ W. Wistar Comfort, Stylianos Negrepontis: The Theory of Ultrafilters (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Bd. 211). Springer, Berlin u. a. 1974, ISBN 3-540-06604-7, Lemma 1.23.